Kolašinac sinh ra tại Karlsruhe, Baden-Württemberg và có gốc gác Bosnia từ cha mẹ.[22] Anh theo học tại trường Gesamtschule Berger Feld.[23] Cha anh là Faik làm việc tại nhà máy Mercedes-Benz; ông sinh ra tại Nikšić, Montenegro rồi theo cha mẹ đến Plav. Gia đình chuyển đến Čapljina, Bosnia và Herzegovina vào năm 1969, nơi Faik gặp gỡ vợ mình. Cả gia đình của Kolašinac đều theo đạo Hồi.[22] Bên cạnh tấm hộ chiếu Đức, Kolašinac còn được cấp một tấm hộ chiếu Bosnia vào năm 2013 để anh có thể chơi bóng cho đội tuyển quốc gia nước này.[22]

Kolašinac thường được các cổ động viên gán với những biệt danh như "The Destroyer", "The Tank" hoặc "The Bosnian Hulk" bởi anh có một thân hình cường tráng và cơ bắp cũng phong cách thi đấu máu lửa.[24][25] Vào tháng 7 năm 2019, Kolašinac và người đồng đội ở Arsenal Mesut Özil là mục tiêu của một nhóm tên côn đồ khi cả hai đang lái xe qua khu vực Golders Green, tuy nhiên anh đã dũng cảm một mình chiến đấu tay không với bọn côn đồ để bảo vệ đồng đội của mình.[26][27]